I NUMERI E LA MATEMATICA

 
 


    I numeri sono un’invenzione o una scoperta? Costituiscono il codice naturale di un mondo avente architettura matematica o sono un’invenzione dell’uomo per rappresentarsi il mondo? La recente conferma dell’esistenza delle onde gravitazionali previste dalla Teoria della Relatività m’ha ficcato in testa questa domanda. Per mia ignoranza, non sapevo che se l’erano già posta in molti: Platone, Kant, Pitagora, Archimede, Newton, Einstein. (e con questo elenco - incompleto - rispondo a quanti, con spocchia, mi hanno accusato fare una questione di lana caprina). Ne ho parlato allora con due amici professori: di matematica e di filosofia. Entrambi propendono per l’invenzione. Il primo citando i teoremi classici, di Pitagora, di Talete, di Ruffini, di Gauss, ecc. che portano il nome dei loro inventori; il secondo argomentando che la visione di Platone di un noumeno nel quale alberghino le formule matematiche in attesa di essere scoperte era ormai superata e che Kant, a dimostrazione del proprio convincimento che la matematica fosse un’invenzione, portava l’esempio dei numeri immaginari.

Nessuna di queste argomentazioni (specialmente la prima) mi persuade e personalmente propendo per la scoperta. Prima di dire perché vorrei però accennare al “fattore scatenante” la mia curiosità:


Le onde gravitazionali


    La teoria della relatività ci ha insegnato che lo spazio non è un contenitore di cose e che il tempo non è qualcosa che scorre indipendentemente da esse e dallo spazio, ma ne è parte integrante. Normalmente, quando diciamo spazio, intendiamo qualcosa di tridimensionale, dotato di lunghezza, larghezza e altezza. Cioè quello che i nostri sensi, principalmente la vista, sono in grado di rilevare. Se possedessimo anche un “occhio temporale” vedremmo un mondo a quattro dimensioni con il tempo. Questo “Tutto quadridimensionale” è lo spazio-tempo.

    In questo continuo spazio-temporale i corpi si attraggono con una forza F=Ma (2 legge di Newton) ma non perché posseggano intrinsecamente tale capacità quasi fossero calamite, ma perché “piegano” lo spazio-tempo (teoria della relatività). Per averne un’immagine comprensibile, pensiamo a un lenzuolo su cui sono posate una boccia da bowling e una palla da tennis. La boccia causerà un avvallamento del lenzuolo che farà scivolare verso di essa la pallina. Ma i corpi celesti non se ne stanno fermi, si muovono. Eccome! Immaginiamo allora che la boccia scorra sul lenzuolo tirandosi dietro la palla. Standoci sotto osserveremmo una protuberanza (in realtà le protuberanze sono due, ma per semplicità trascuriamo quella molto più piccola della palla da tennis) che si sposta: un’onda (vedi a lato). Dunque i corpi celesti si attraggono, deformano lo spazio con la loro massa e, muovendosi, generano onde gravitazionali. Misurabili? No! Ci vorrebbe una massa troppo grande per poterlo fare. Ma un’onda, oltre che da una massa che accelera può essere causata da un evento più cruento. Pensiamo ad un sasso gettato in acqua. Si formano onde concentriche tanto più alte quanto più pesante è il sasso. Einstein riteneva che l’esistenza delle onde gravitazionali probabilmente non sarebbe stata mai dimostrata sperimentalmente, stante l’immensa energia necessaria per produrre onde gravitazionali rilevabili. Due fattori lo hanno invece consentito. Il primo consiste nella realizzazione dell’esperimento LIGO (Advanced Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory). Ligo è collegato a due interferometri Virgo, uno vicino a Pisa e l’altro in Germania presso Hannover. Questi strumenti sono capaci di rilevare un ampio spettro di frequenze e sono enormi: due tunnel ortogonali lunghi 3 chilometri.

Il secondo fattore che ha reso possibile la verifica dell’esistenza delle onde gravitazionali è stato un evento di straordinaria drammaticità: due buchi neri (aventi massa rispettivamente 29 e 36 volte quella del Sole) sono collassati uno nell’altro formando un unico buco nero avente una massa 62 volte quella del sole. I “tre soli” mancanti rappresentano l’energia liberata dall’evento sotto forma di onde gravitazionali. Gli interferometri Virgo hanno “cinguettato” (la frequenza delle onde gravitazionali rientra nella banda dell’udibile) per circa mezzo secondo. Pensiamo all’energia di un’esplosione atomica. I danni durano a lungo ma l’esplosione solamente pochi secondi. Il Sole non è altro che un’enorme esplosine atomica che è in atto da milioni di anni e che continuerà ancora per un bel po’ prima di esaurirsi. Moltiplichiamo per tre la sua energia: è quella che è stata necessaria per produrre un segnale di mezzo secondo! Ecco perché Einstein riteneva poco probabile la verifica sperimentale dell’esistenza delle onde gravitazionali.

   In realtà già nel 1974 Russell Hulse e Joseph Taylor fornirono un indizio importante della reale esistenza delle onde gravitazionali osservando le perturbazioni generate da un sistema binario di stelle di neutroni. I due scienziati ottennero il premio Nobel per questo studio che tuttavia non fu considerato una prova definitiva. Questa invece lo è perché i buchi neri, per definizione, non emettono nessuna radiazione e li si può studiare solamente osservando ciò che “combinano” nei paraggi con le loro enormi densità. E i due buchi neri in questione sono stati un sasso ben grande nel lago dello spazio-tempo!

    E torniamo alla domanda iniziale:


Scoperta o invenzione?


    Le onde gravitazionali non erano l’oggetto dello studio di Einstein. Egli ragionava in termini di sistemi di riferimento; di velocità della luce che doveva essere la medesima a prescindere dallo stato di quiete o di moto della sorgente, con evidente contraddizione con il concetto di relatività di Galileo che affermava che un corpo lanciato da un altro in movimento si muove con una velocità che è somma delle due. Mi fermo qui perché non è della teoria di Einstein che voglio parlare, ma del fatto che egli ha tradotto un’ipotesi in termini e formule matematiche e l’ha dimostrata servendosi delle leggi e dei metodi della matematica. È così giunto alla formulazione di altre formule matematiche, la più famosa delle quali è: E=Mc2. Queste formule risultanti, ottenute con metodi puramente matematici, possono essere tradotte nuovamente in linguaggio corrente. Quella che precede, per esempio, la si può tradurre dal linguaggio matematico così: “Ogni corpo rappresenta una straordinaria concentrazione di energia, pari al prodotto della sua massa per il quadrato della velocità della luce”. È vero? Sì!

Ma nuove formulazioni matematiche non sono prive di conseguenze, nel senso che “se le cose stanno così, allora deve anche essere che .....”. Una delle “conseguenze” della teoria della relatività è appunto l’esistenza teorica delle onde gravitazionali. Einstein non le cercava: se le è ritrovate tra le mani manipolando formule matematiche. Da questo a me sembra che la matematica sia un qualcosa di intrinsecamente legato alla realtà delle cose. E che se il teorema dei quadrati costruiti sui cateti e sull’ipotenusa non l’avesse scoperto Pitagora, l’avrebbe scoperto qualcun altro. Se parto da formule note che descrivono un fenomeno fisico e, dimenticandomi della realtà che esse descrivono, le sviluppo secondo le leggi della matematica, giungo a dei risultati che a loro volta descrivono un altro aspetto della realtà! E poi c’è la faccenda di Fibonacci.

    Il matematico pisano Leonardo Fibonacci doveva risolvere un problema: stabilire quante coppie di conigli ci sarebbero state dopo un anno in una conigliera (si trattava di una gara fra matematici indetta da Federico II) supponendo che:

  1. inizialmente ci fosse una sola coppia

  2. nessun coniglio morisse

  3. ogni mese ciascuna coppia ne generasse un’altra

  4. ogni coppia (compresa la prima) diventasse fertile al secondo mese di vita.

Il calcolo non è difficile, ma richiede tempo ed attenzione perché è facile confondersi nel proseguire il seguente schema:


Fibonacci capì subito che lo sviluppo del calcolo avveniva secondo uno schema preciso. Il numero di coppie presenti ogni mese, cioè, era dato dalla somma di quelle presenti nei due mesi precedenti, secondo la successione: 0  1  1  2  3  5  8  13 .... e che il numero richiesto era 377. Aveva scoperto la serie numerica che prese il suo nome. Perché, secondo me, non si trattò di un’invenzione? Perché la successione di Fibonacci è presente ovunque in natura! Che ne sa di Fibonacci la chiocciola che accresce il proprio guscio secondo la sua successione? E la margherita mentre costruisce i suoi petali? E la Via Lattea? E la galassia di Andromeda (link nella colonna di destra, che invito a cliccare)? E che ne sapeva Fibonacci, mentre la scopriva, che il limite del rapporto n/n-1 per n tendete all’infinito era uguale a Φ, il numero aureo associato alla sezione aurea?



    Ripropongo allora la domanda iniziale: I numeri sono un concetto inventato da noi o sono un linguaggio naturale dell’universo, un qualcosa che esiste indipendentemente da noi?


    A me piace pensare che Dio, creando il mondo, l’ha fatto scrivendo la natura con un linguaggio matematico. Ogni altra opinione e ogni commento, graditissimi, saranno pubblicati. Per inviarli basta cliccare     QUI.




FRANCESCO DI NOTO

Salve,
sono Francesco Di Noto, matematico amatoriale, mi piace anche la fisica. Ho trovato il Suo ottimo sito e Le scrivo in merito alle onde gravitazionali e Fibonacci. Abbiamo notato una possibile connessione, esposta nel nostro lavoro sul link del nostro sito nardelli.xoom.it/virgiliowizard/teoria-delle-stringhe-e-teoria-dei-numeri.

Desidero la Sua gentile opinione in merito, è importante per me, per poter approfondire eventualmente l'argomento. Circa  la matematica come scoperta o invenzione, siamo platonisti , e La invito gentilmente a leggere il  nostro vecchio lavoro nardelli.xoom.it/stringtheory/Il%20Platonismo%20matematico.pdf .

In attesa di una Sua gentile risposta, La ringrazio vivamente e Le porgo i miei più Cordiali Saluti.

Caltanissetta   19.1.2017

Francesco Di Noto


Risponde Corrado Pace: Gentile Francesco, la ringrazio molto per le parole di apprezzamento. Trovo senz’altro interessante il suo lavoro pubblicato a tre mani con l’ing. Franz Roggero e il Dott. Michele Nardelli per le ipotesi formulate e la divulgazione del lavoro degli scienziati (fisici teorici che hanno vinto il Premio Nobel 2016 per la fisica) David Thouless, Duncan Haldane e Michael Kosterlitz per i loro studi sulle transizioni di fase topologiche e per le fasi topologiche della materia.

La connessione che avete notato è, secondo me, non solo possibile, ma reale. Ciò che esiste, nel suo esistere, rappresenta un’unica realtà: siamo noi a studiarla da vari punti di vista, spezzettandola per capirci qualcosa. Ciò che esiste comunica all’esistente la propria presenza  e questa comunicazione avviene mediante onde. A seconda della loro lunghezza, noi interpretiamo quei segnali come suoni, o colori, o calore ... Le onde gravitazionali rientrano nelle frequenze del suono: le hanno infatti sentite “cinguettare”!

Tutto ciò è molto interessante, tuttavia approfondire l’argomento della topologia della superconduttività con la possibile connessione con la serie di Fibonacci in spazi bidimensionali esula dalle finalità di  Parliamoneinsieme che è  un sito impostato su basi generaliste, non specialistiche. La ringrazio comunque per la proposta e auguro a lei e ai suoi colleghi buon lavoro.

    Interessante anche l’articolo sul platonismo matematico in cui, basandovi sul libro “La mente di Dio” di  Paul Davies pubblicato da Mondadori, abbracciate con convinzione la tesi che numeri e matematica rappresentino una scoperta, piuttosto che un’invenzione.






ROBERTO VALENTI

La sequenza di Fibonacci è spiegata molto bene nel cartone animato "Paperino e il mondo della matemagica", l'ho visto da piccolo e ancora oggi sono affascinato dal rettangolo aureo con le sue magnifiche proporzioni, costruito sul Partenone di Atene. Alla fine del cartone animato ti convinci che le leggi numeriche preesistono a tutti gli eventi della natura. Un documentario di Piero Angela, basandosi sul libro "Il gene della matematica", spiegava che i neonati sanno contare almeno fino a 3, come pure molti animali. Gli uccelli arrivano a distinguere anche quantità maggiori. Sono convinto che i numeri siano alla base di tutto e, se fossi anche pienamente convinto dell'esistenza di Dio, userei la famosa frase "Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo". A proposito, complimenti per il quiz matematico pubblicato su facebook che mi ha fatto rimediare una figuraccia, ma in mia difesa posso dire che sono stato l'unico coraggioso a tentare la soluzione :-)





Risponde Corrado Pace: Nessuna figuraccia, anzi! Il quiz, pur circolando da parecchio tempo, esemplifica un mio vecchio errore ai tempi dell’università: dovevo risolvere un sistema di equazioni, una delle quali piuttosto complicata. Manipolandola, ero riuscito a ridurla all’eguaglianza del prodotto di due espressioni, una delle quali comune ad entrambi i membri, così da poter essere eliminata. Di colpo il tutto è diventato estremamente semplice e .... sbagliato! Ho penato non poco per capire che il blocco eliminato valeva zero!





 

INVENZIONE O SCOPERTA?

Parliamoneinsieme


INDICE DEGLI ARGOMENTI


  1. Silenzio Muto

  2. I funghi velenosi mortali

  3. I numeri e la matematica

  4. Primo Levi

  5. Vite minuscole

  6. Giovanni Floris - Susanna Tamaro - Gianrico Carofiglio - Emanuele Tonon

  7. Bijoy Jain

  8. Margherita Lazzati

  9. Beatrice Niccolai

  10. Scalfari, Gesù e papa Francesco

  11. Eremi Celestiniani

  12. Medjugorje

  13. La Bibbia è una biblioteca

  14. Genesi

  15. Esodo

  16. Levitico

  17. Numeri

  18. Rosario per la pace

  19. Liturgia delle Ore










La matematica elementare

  1. Aritmetica (numeri, proporzioni, frazioni, potenze, radici, logaritmi)

  2. Algebra elementare (calcolo letterale, equazioni)

  3. Geometria elementare (punti, rette, piani, segmenti, angoli, spazio tridimensionale)

  4. Analisi elementare (calcolo infinitesimale: limiti, derivate, integrali).






Le onde

Le onde sono spostamenti di energia, non di materia. Quelle del mare (tranne che nei frangenti) sono oscillazioni, non spostamenti dell’acqua. È facile convincersene osservando le onde prodotte dal vento su un campo di grano o la Ola in uno stadio: le spighe e le braccia si abbassano e si alzano mentre l’onda si sposta.






Le equazioni

Le uguaglianze sono formule matematiche del tipo: 1 = 1.

Le uguaglianze i cui termini sono rappresentati da lettere si dicono identità. Sono del tipo : a = a. Sono vere per qualsiasi valore si attribuisca alle lettere.

Le uguaglianze che presentano un termine incognito si dicono equazioni e l’unico valore (equazioni di primo grado) che le rende vere è la soluzione dell’equazione.

Sono del tipo: x + 2 = 6.


La formula E=MC° è un’equazione di primo grado in cui l’energia è l’incognita e il suo valore, l’unico che rende vera l’eguaglianza, è dato dal prodotto della massa per il quadrato della velocità della luce.





Se qualcuno desidera un piccolo aiuto per smetterla di sentirsi al centro dell’universo, potrebbe considerare che il collasso dei due buchi neri di cui si parla nell’articolo, fenomeno d’inimmaginabile

potenza, è avvenuto più di un miliardo di anni fa e che solo il 14 settembre 2015 (la comunicazione ufficiale è però arrivata l’11 febbraio 2016) l’onda gravitazionale da esso causata è giunta fino a noi.

Un altro aiutino lo si può avere guardando questo video:


ANDROMEDA






Tanto per complicarci un po’ la vita: nell’articolo si parla di onde gravitazionali, cercando di capire che grandi masse fortemente accelerate pieghino e creino onde nello spazio. Ma lo spazio è solo una parte dello spazio-tempo, che costituisce una realtà  unitaria. Quindi eventi del tipo di quelli descritti piegano, increspano e fanno ondeggiare anche il tempo .....

Che significa?






Tanto per complicarci ulteriormente la vita: e se le dimensioni di questo nostro mondo fossero più di quattro? Matematicamente è possibile. Ma se la matematica è una scoperta (vedi la conclusione dell’articolo) allora .....























 

Ci sono interventi di amici in fondo all’articolo